在概率论和统计学中，指数期望（也称为期望值）是随机变量可能取值的加权平均值。它提供了随机变量的中心位置的度量。计算指数期望的公式取决于随机变量的类型。

离散随机变量的指数期望

对于离散随机变量 X，其可能取值为 x1、x2、...、xn，概率分别为 p1、p2、...、pn，其指数期望 E(X) 由以下公式计算：

E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn

示例：

掷一枚六面骰子，每个面的出现概率相等。计算点数的指数期望。

E(X) = 11/6 + 21/6 + 31/6 + 41/6 + 51/6 + 61/6 = 3.5

骰子点数的指数期望为 3.5。

连续随机变量的指数期望

对于连续随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，其指数期望 E(X) 由以下积分公式计算：

E(X) = ∫xf(x) dx

示例：

均匀分布在区间 [0, 1] 的随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = 1 for 0 ≤ x ≤ 1。计算其指数期望。

E(X) = ∫0^1 x1 dx = 1/2

均匀分布在区间 [0, 1] 的随机变量的指数期望为 1/2。

期望的性质

指数期望具有以下性质：

• 线性性：对于常数 a 和 b，以及随机变量 X 和 Y，E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
• 非负性：对于非负随机变量 X，E(X) ≥ 0。
• 单调性：如果 X ≤ Y，则 E(X) ≤ E(Y)。
• 独立性：如果 X 和 Y 是独立随机变量，则 E(XY) = E(X)E(Y)。

应用

指数期望在概率论和统计学中有着广泛的应用，包括：

• 计算平均值和方差等统计量。
• 比较不同分布的中心位置。
• 预测随机变量的未来值。
• 进行决策分析和风险评估。

指数期望是随机变量中心位置的重要度量。其计算公式取决于随机变量的类型，对于离散随机变量使用求和，对于连续随机变量使用积分。指数期望具有线性性、非负性、单调性和独立性等性质，并在概率论和统计学中有着广泛的应用。